Уравнение Фоккера — Планка

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

Уравнение Фоккера — Планка — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.

Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности [math]\displaystyle{ W(\mathbf{v},\;t) }[/math], описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале [math]\displaystyle{ (\mathbf{v},\;\mathbf{v}+d\mathbf{v}) }[/math], если в момент времени 0 она имела начальную скорость [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0 }[/math], и записать для [math]\displaystyle{ W(\mathbf{v},\;t) }[/math] уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для [math]\displaystyle{ N }[/math] переменных:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial W}{\partial t}=\left[-\sum_{i=1}^N\frac{\partial}{\partial x_i}D_i^1(x_1,\;\ldots,\;x_N)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}D_{ij}^2(x_1,\;\ldots,\;x_N)\right]W, }[/math]

где [math]\displaystyle{ D^1 }[/math] — вектор сноса и [math]\displaystyle{ D^2 }[/math] — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

[math]\displaystyle{ d\mathbf{X}_t=\boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,\;t)\,dt+\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,\;t)\,d\mathbf{B}_t, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{X}_t\in\R^N }[/math] — функция состояния системы, а [math]\displaystyle{ \mathbf{B}_t\in\R^M }[/math] — стандартное [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как [math]\displaystyle{ \mathbf{X}_0\sim W(\mathbf{x},\;0) }[/math], то плотность вероятности [math]\displaystyle{ W(\mathbf{x},\;t) }[/math] состояния системы [math]\displaystyle{ \mathbf{X}_t }[/math] является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

[math]\displaystyle{ D^1_i(\mathbf{x},\;t)=\mu_i(\mathbf{x},\;t), }[/math]

[math]\displaystyle{ D^2_{ij}(\mathbf{x},\;t)=\frac{1}{2}\sum_k\sigma_{ik}(\mathbf{x},\;t)\sigma_{jk}(\mathbf{x},\;t). }[/math]

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}X_t=\mathrm{d}B_t.\ }[/math]

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial W(x,\;t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 W(x,\;t)}{\partial x^2}, }[/math]

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}(A(x,\;t)f(x,\;t)) +\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac {B(x,\;t)}{2}\frac{\partial}{\partial x}f(x,\;t)\right). }[/math]

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

[math]\displaystyle{ f(x,\;t)=p(x,\;t|x_0,\;t_0), }[/math] (то есть значение функции [math]\displaystyle{ f(x,\;t) }[/math] вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью [math]\displaystyle{ x\ }[/math] и временно́й осью [math]\displaystyle{ t\ }[/math], в интервалы [math]\displaystyle{ x-x_0\ }[/math] и [math]\displaystyle{ t-t_0\ }[/math] соответственно) при любом начальном значении [math]\displaystyle{ x_0\ }[/math] и [math]\displaystyle{ t_0\ }[/math] и начальном условии [math]\displaystyle{ p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0) }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta(x-x_0)\ }[/math] — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени [math]\displaystyle{ t_0\ }[/math] функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности [math]\displaystyle{ p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_0,\;t_0)\,dx_0=\int p(x,\;t|x_0,\;t_0)p(x_0,t_0)\,dx_0. }[/math] Тогда, УФП справедливо для вероятности [math]\displaystyle{ p(x,\;t) }[/math] с начальным условием [math]\displaystyle{ p(x,\;t)|_{t=t_0}=p(x,\;t_0) }[/math], которое менее сингулярно, чем [math]\displaystyle{ p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0) }[/math]. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

[math]\displaystyle{ dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+\sqrt{B(x(t),\;t)}\,dW(t) }[/math]

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым (переиздано в).

См. также

• Цепочка уравнений Боголюбова
• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнения Навье — Стокса
• Формула Фейнмана — Каца

Литература

• Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
• Шаблон:Книга:Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.: Физическая кинетика